Gravitace

Gravitační síla patří mezi jednu ze čtyř základních sil (dále sem patří: silná a slabá jaderná a elektromagnetická síla). Působí na teoreticky neomezenou vzdálenost, nelze ji žádnou překážkou zeslabit (rozdíl oproti elektrické síle), ale je zároveň nejslabší základní silou. Každé hmotné těleso kolem sebe vytváří gravitační pole, v němž jsou ostatní tělesa přitahována gravitační silou do středu tohoto pole (družice k Zemi, Země do středu Slunce).
Podle 3. Newtonova zákona jsou obě síly stejně velké – družice působí na Zemi stejně velkou silou, jakou působí Země na družici. Proč tedy pozorujeme jen zrychlení těles k Zemi a ne naopak? Důvod je samozřejmě ten, že Země má mnohonásobně větší hmotnost – stejná síla u ní vyvolá nižší zrychlení.

Velikost obou gravitačních sil je stejná.

 

Newtonův gravitační zákon

Pro základní pochopení gravitace je nutno znát Newtonův gravitační zákon, který nám kvantitativně popisuje gravitační sílu.

 („m“ jsou hmotnosti těles, „r“ je vzdálenost mezi nimi a „κ“ je gravitační konstanta s hodnotou 6,67*10-11)
Ze zákona vyplývá, že gravitační síla roste lineárně se zvyšující se hmotností těles (zvýšíme původní hmotnost jednoho nebo druhého tělesa na dvojnásobek a gravitační síla vzroste také dvakrát) a také, že gravitační síla je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdáleností (vzdálenost mezi tělesy se zvýší na čtyřnásobek a gravitační síla poklesne šestnáctkrát).

 

Homogenní a centrální gravitační pole

Rozlišujeme dva základní druhy gravitačního pole – centrální a homogenní.

Centrální gravitační pole je takové pole, u něhož síla směřuje vždy do středu Země (případně jiného tělesa). Vektor gravitačního zrychlení bude tedy měnit směr v závislosti na poloze druhého tělesa (těleso na jižním polu bude mít opačný směr zrychlení než těleso na severním polu) a velikost gravitační síly bude záležet na vzdálenosti od středu Země.

Povšimněme si měnícímu se směru vektorů zrychlení, přičemž pořád směřují do středu Země. Velikost vektorů zrychlení se nám také mění – čím dále od povrchu Země jsme, tím je zrychlení nižší. Nakresleno schematicky.

U homogenního gravitačního pole je směr i velikost zrychlení je vždy stejná a vektory směřují svisle dolů k Zemi. Jedná se o zjednodušení, takové pole ve skutečnosti neexistuje. Jenom v tomto poli může přesně platit vztah pro potenciální energii Ep=m.g.h, protože zrychlení zůstává konstantní.

Směr i velikost vektoru zrychlení zůstává konstantní.

 

Vrhy těles

Svislý vrh vzhůru

Při výstupu do výšky se jedná o pohyb rovnoměrně zpomalený, těleso se v nejvyšším bodě se na okamžik zastaví a následuje rovnoměrně zrychlený pohyb dolů (volný pád). Velikost rychlosti tělesa je v určité výšce nad Zemí pří stoupání i klesání vždy stejná, jen má vektor rychlosti opačný směr. Těleso tedy dopadne vždy stejnou rychlostí, jakou bylo vymrštěno vzhůru. Velikost okamžité rychlosti v čase „t“ určíme , okamžitá výška .
Při počítání rychlosti dopadu těles můžeme použít naše znalosti ohledně tíhové potenciální energie a kinetické energie. V určité výšce „h“ nad povrchem Země má těleso tíhovou potenciální energie Ep, při dopadu se tato energie přeměňuje do kinetické energie Ek – těleso získává rychlost. Při dopadu je veškerá Ep přeměněna do Ek
Ep=Ek

Vodorovný vrh

Vodorovný vrh je vrh tělesa s určitou horizontální rychlostí“ vh„, která se v průběhu pohybu nemění. Těleso ale postupně získává vertikální složku rychlosti „vv“ způsobenou gravitačním zrychlením. Pohyb tedy probíhá podle dvou os: osy „y“, kde se jedná o volný pád a osy „x“ kde se jedná o pohyb nezrychlený. Dobu pohybu můžeme vypočítat jako dobu volného pádu z výšky, ze které tento vrh proběhl (upravili bychom vzorec ), tato doba tedy záleží pouze na výšce a tíhovém zrychlení, nezávisí na horizontální složce rychlosti. Pro výpočet délky vrhu „d“ si nejdříve vypočítáme dobu pádu a následně ji dosadíme do vztahu pro dráhu nezrychleného pohybu „s=v.t“. Rychlost dopadu bude dána vektorovým součtem horizontální rychlosti a vertikální rychlosti od tíhového zrychlení.
Trajektorií je část paraboly.

U vodorovného vrhu pozorujeme neměnící se vektor horizontální rychlosti vh a také konstantní zrychlení ag, které tělesu postupně uděluje vertikální rychlost vv. V nejvyšším bodě je vertikální rychlost nulová, postupně nám roste až na svoji maximální hodnotu při dopadu.

 

Šikmý vrh

Šikmý vrh je vrh tělesa s určitým elevačním úhlem. Ve výšce h0 má těleso jenom kinetickou energii Ek, s výstupem do výšky h1 se část této energie přeměňuje do potenciální energie Ep a při následném klesání se opět tato energie vrací do kinetické složky Ek.
Ve vakuu se pohyb děje po parabole, ve vzduchu kvůli odporu vzduchu po tzv. balistické křivce.

 

Keplerovy zákony pro pohyb planet

Keplerovy zákony nám popisují především pohyb planet kolem Slunce, ale je možné je použít na jakákoli tělesa obíhající Slunce (komety, …).
Všechny tři Keplerovy zákony je možné odvodit z Newtonova gravitačního zákona, ale toto by pro nás bylo zbytečně složité. Na přijímací zkoušky je nutné především být schopen si pohyb planet představit a nejlépe i nakreslit.

 

První Keplerův zákon

Planety obíhají kolem Slunce po elipsách. Slunce se nachází v jednom ohnisku „F1“ této elipsy , v druhém ohnisku není nic „F2„. Kruhová oběžná trajektorie je teoreticky možná, obě ohniska elipsy by se tak spojila do jednoho, ale jedná se o velmi nepravděpodobný děj.

Vysoce eliptický tvar oběžné dráha planety kolem Slunce. Běžný tvar orbity se více podobá kružnici.

 

Druhý Keplerův zákon

Při pozorování planet bylo zjištěno, že planety v tzv. periheliu (nejbližší místo u Slunce) se pohybují rychleji, než planety aféliu (nejvzdálenější místo od Slunce). Za danou časovou jednotku se může planeta například posunout z bodu „A“ do bodu „B“ a za stejnou čas se posune z bodu „C“ do bodu „D“. Průvodič této planety (spojnice planety a Slunce) opíše určitou plochu a obsah této plochy je za daný čas vždy konstantní – na obrázku má modrá plocha stejný obsah jako plocha zelená.
Druhý zákon tedy zní: Obsahy ploch opsané průvodiči planet jsou za stejný čas konstantní.

Třetí Keplerův zákon

Třetí zákon nám popisuje souvislost mezi vzdáleností dvou planet od Slunce a jejich oběžnou dobou.
Planety blíže u Slunce uskuteční oběh rychleji, než planety vzdálenější: oběžná doba Merkuru je 88 dní, Venuše 225 dní, Země 365 a Marsu 687 dní.
Třetí zákon se často píše: Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).
 („T“ jsou oběžné doby planet a „a“ je délka jejich hlavních poloos)


 

Kosmické rychlosti

První kosmická rychlost je taková rychlost, kterou musí mít horizontálně vystřelené těleso, aby se neustále udržovalo na oběžné dráze (orbitě) kolem Země. V případě, že by těleso mělo rychlost nižší, spadlo by do Země.
Vypočítáme ji jednoduše jako kruhovou rychlost v určité vzdálenosti od středu Země (poloměr Země je 6378 km):
. Těleso by muselo být vystřeleno rychlostí 7,9 km/s aby se samo udržovalo na oběžné dráze.
Pro připomenutí: na pohyb takovéhoto tělesa není nutno vykonávat žádnou práci; gravitační síla by neměnila velikost rychlosti, ale pouze směr rychlosti.

Čárkovaně je zobrazena trajektorie rakety při moc malé rychlosti. Při výstřelu rakety alespoň první kosmickou rychlostí vk1 zůstane raketa po neomezenou dobu na orbitě (při zanedbání odporu vzduchu, který by ji zpomaloval). Zvyšováním rychlosti se oběžná dráha více a více podobá elipse, až při dosažení druhé kosmické rychlosti vk2 těleso opouští gravitační pole Země.

 

Druhá kosmická rychlost je minimální rychlost potřebná k úniku z orbity Země:

 

Třetí kosmická rychlost je minimální rychlost těles na opuštění Sluneční soustavy. Pro naši sluneční soustavu má hodnotu 42,1 km/s.